Начала

Числа: натуральные (nature–природа; т.е. числа, которыми исчисляются объекты в природе), целые (положительные, отрицательные и ноль), дробно-рациональные (отношение двух целых чисел; конечная сумма таких отношений), иррациональные (числа, не представимые рациональными, т.е. их можно представить в виде бесконечной суммы дробей), действительные (все вышеперечисленные)

Свойство разности

так вводится понятие разности в математику (определяется через сумму: уменьшаемое минус вычитаемое равно разности, если уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности, и наоборот). Также из свойства разности следует: 1) в многочлене знак перед каждым одночленом относится к этому одночлену (т.е. при перестановке одночленов в многочлене, знаки перед одночленами перемещаются вместе с ними); 2) при переносе одночлена из одной части равенства в другую, знак перед ним изменяется на противоположный

Свойство частного

так вводится понятие деления в математику (определяется через умножение: делимое разделить на делитель равно частному, если делимое равно делитель умножить на частное)

Законы сложения и умножения

умножение числа на единицу: результат равен исходному числу

деление числа на единицу: результата равен исходному числу

переместительный (коммутативный) закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется

переместительный (коммутативный) закон умножения: от перемены мест множителей произведение не изменяется

сочетательный (ассоциативный) закон сложения: если сложить первое и второе слагаемые, а к сумме прибавить третье, то результат будет такой же как и при сложении второго и третьего слагаемых и прибавлении к сумме первого (сложение имеет одинаковый приоритет: в многочлене одночлены можно складывать в любой последовательности). В первую очередь производится действие в скобках

сочетательный (ассоциативный) закон умножения: если умножить первый и второй множители, а произведение умножить на третий, то результат будет такой же как и при умножении второго и третьего множителей и умножении произведения на первый (умножение имеет одинаковый приоритет: в одночлене можно умножать его множители в любой последовательности). В первую очередь производится действие в скобках

распределительный (дистрибутивный) закон сложения относительно умножения: при умножении числа на сумму чисел, число умножается на каждое из чисел суммы, и результаты складываются (умножение одночлена на многочлен)

вынесение общего множителя за скобки

умножение многочленов: каждый многочлен первого одночлена умножается на каждый многочлен второго одночлена, и результаты складываются

метод группировки

Формулы сокращённого умножения

квадрат суммы двух чисел равен: сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого и второго числа и квадрата второго числа

квадрат разности двух чиселравен сумме квадратов первго и второго числа минус удвоенное произведение первого и второго числа

разность квадратов двух чисел равна произведению разности чисел на их сумму

куб суммы двух чисел

куб разности двух чисел

сумма кубов двух чисел

разность кубов двух чисел

квадрат трехчлена

разность чисел в произвольной степени

бином Ньютона

Пропорция

пропорция в виде равенства дробей (произведение членов, стоящих крест-накрест равны)

пропорция в виде равентсва отношений (произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов)

члены пропорции, выраженные через остальные члены пропорции

члены пропорции, выраженные через остальные члены пропорции

Дроби

основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, то дробь не изменится

сложение дробей с общим знаменателем: числители складываются, а знаменатель остается без изменений

сложение дробей с различными знаменателями: воспользовавшись основным свойством дроби, нужно каждую дробь домножить на отношение НОК знаменателей к знаменателю данной дроби (в результате в знаменателе каждой дроби получим НОК знаменателей)

умножение дробей: числители перемножаются, знаменатели перемножаются

деление дробей: первую дробь умножить на перевернутую вторую (у которой числитель становится знаменателем, а знаменатель числителем)

деление дробей (мнемоническое правило): числители остаются на прежних местах относительно основной черты дроби, а знаменатели переходят через основную черту дроби. Основная черта дроби подразумевает деление, выполняющееся в последнюю очередь

Модуль

определение модуля: модуль числа равен этому числу, если оно неотрицательное, и равен этому числу с поставленным перед ним знаком минус, если это число отрицательное. Модуль числа равен расстоянию от точки, соответствующей числу на координатной оси до начала координат

модуль числа равен модулю этого числа, взятому со знаком минус

число не больше модуля этого числа и не меньше модуля этого числа, взятого со знаком минус

модуль суммы не больше суммы модулей

модуль разности не меньше разности модулей

модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел

модуль отношения чисел равен отношению модулей этих чисел

Степени

определение понятия степени: число в натуральной степени, это произведение этого числа само на себя, количество раз, равное степени

число в нулевой степени равно единице

число в первой степени равно самому числу

произведение степеней с одинаковым основанием: основание остается прежним, а степени складываются

отношение степеней с одинаковым основанием: основание остается прежним, а степени вычитаются

возведение степени в степень: основание остается прежним, а степени перемножаются

произведение чисел в степени: каждое число произведения возводится в степень

отношение чисел в степени: каждое число отношения возводится в степень

число в отрицательной степени: равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе число в положительной степени

корни

арифметический квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа (проверяется подставлением положительных и отрицательных чисел)

арифметический квадратный корень из числа, возведенный в квадрат, равен этому числу (поскольку отрицательные числа под арифметический квадратный корень подставлять нельзя)

корень степени n из числа равен этому числу в дробной степени, в числителе которой 1, а в знаменателе n (следует из определения корня степени n и формул для степеней)

произведение корней из чисел равно корню из произведения чисел (обратное утверждение справедливо только при наложении определенных ограничений на числа и степень корня)

произведение корней из чисел равно корню из произведения чисел (обратное утверждение справедливо только при наложении определенных ограничений на числа и степень корня)

если выражение содержит корень под корнем, то степени корней можно менять местами; при сведении вражения под общий корень, степени перемножаются

если степень корня и степень подкоренного выражения имеют общий множитель, то его можно сократить

внесение множителя под знак корня

Неравенства

при переносе одночлена через знак неравенства, знак перед ним изменяется на противоположный

если поменять местами правую и левую части неравенства, знак неравенства изменится на противоположный

если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое меньше третьего

если к правой и левой частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится

сумма меньших чисел меньше суммы бо́льших чисел

при умножении неравенства на положительное число, знак неравенства не изменяется

при умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный

при умножении неравенства на -1, знак неравенства изменяется на противоположный

произведение меньших проложительных чисел меньше произведения бо́льших чисел

если произведение чисел положительно, то при сравнении чисел, обратных к данным, знак неравенства между ними изменяется на противоположный

Прогрессии

АП

разность арифметической прогрессии (разность между последующим и предыдущим членами)

общий член арифметической прогрессии (выражает любой член арифметической прогрессии с номером n, при известных первом члене и разности)

любой член прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому соседних с ним членов, справа и слева (из-за этого прогрессия называется арифметической)

сумма первых n членов арифметической прогрессии (выраженная через первый член, n-ый член и количество членов)

сумма первых n членов арифметической прогрессии (выраженная через первый член, разность и количество членов)

ГП

частное геометрической прогрессии (отношение последующего члена к предыдущему)

общий член геометрической прогрессии (выражает любой член геометрической прогрессии с номером n, при известных первом члене и частном)

любой член прогрессии (кроме первого) равен среднему геометрическому соседних с ним членов, справа и слева (из-за этого прогрессия называется геометрической)

сумма первых n членов геометрической прогрессии (выраженная через первый член, частное и количество членов)

сумма бесконечной геометрической прогрессии (выраженная через первый член и частное, при условии, что частное по модулю меньше единицы)