Гироскоп

Загальне поняття гіроскопу і його прецесії

Гіроскоп – це масивне тіло, що має осьову симетрію, і обертається з великою кутовою швидкістю відносно осі симетрії.

Прецесія гіроскопа – явище, при якому вісь обертання гіроскопа змінює своє положення у просторі, якщо на гіроскоп діє сила, що не проходить через центр його мас.

Момент інерції тіла

– вісь, відносно якої вимірюється момент інерції. Розіб’ємо тіло на найдрібніші маси: .

– відстань від маси( ) до осі (відносно якої вимірюється момент інерції)

Домовимося, що момент інерції тіла відносно осі буде визначатися за наступним правилом:

– момент інерції

Фізичний зміст розглянемо нижче.

Як можна бачити момент інерції залежить від вибору осі .

Момент інерції кільця (нескінченно тонкої труби)

К ільце – нескінченно тонка труба.

O – ось, перпендикулярна до площини рисунку і збігається з центром кільця.

R – радіус кільця

dm – елемент маси

– маса кільця =>

М омент інерції суцільного циліндра

R – радіус циліндра;

Виділимо в циліндрі нескінченно тонкий шар з товщиною dr, висотою D, який знаходиться на відстані r від осі циліндра

– об'єм нескінченно тонкого шару.

Нехай густина речовини циліндра:

– маса шару

– момент інерції суцільного циліндра

Кінетична енергія обертового тіла

н ехай тіло розбито на малі маси , кожна маса має кутову швидкість , обертаючись навколо осі

– лінійна швидкість маси кожна -та частка має кінетичну енергію

– кінетична енергія обертового тіла с кутовою швидкістю Якщо провести аналогію с кінетичною енергією для поступального руху: . Можемо бачити, що момент інерції – це аналог маси, порівняно з поступальним рухом, а – аналог , порівняно з поступальним рухом.

Векторний добуток векторів

Ц е правило, за яким двом векторам ставиться у відповідність третій вектор. Насправді – це векторна інтерпретація правила правого гвинта.

– векторний добуток векторів.

Нехай дані вектори: , та .

Введемо правило обчислення векторного добутку за допомогою визначника (визначник – це число, яке знаходиться з квадратної матриці (таблиці) чисел за нижченаведеним алгоритмом обчислення):

Тобто:

Розглянемо скалярні добутки:

, тобто:

З авжди можна обрати таку систему відліку, в якій вектори і мають такий вигляд: , та . Тому вектор буде:

З рисунку: , , , ;

, тому має такий самий знак як і . Це означає, що якщо найкоротший поворот від до здійснюється проти годинникової стрілки, то вектор співнапрямлений з віссю аплікат, а інакше – протилежно напрямлений.

Також з останньої формули маємо:

З вищеописаного маємо наступне:

вектор , це вектор, такий що: , , і слідкуючи з кінця вектора , найкоротший поворот від до повинен здійснюватися проти годинникової стрілки (говорять, що такі вектори , , утворюють праву трійку).
, де – це найменший кут, на який треба повернути , до його співнапрямленості з (очевидно, що:

)

(це очевидно випливає з правила обчислення векторного добутку)

Вектор кутової швидкості

Нехай тіло обертається навколо осі . Це означає, що всі точки тіла рухаються по колах, площини яких перпендикулярні осі , а їх центри знаходяться на осі .

В иберемо систему координат з початком , який знаходиться на осі обертання .

Розглянемо довільну точку тіла: вона знаходиться на одному з кіл, площа якого перпендикулярна осі , а центр на осі . З центра цього кола проведемо до точки радіус . Також проведемо до неї радіус-вектор з початку координат .

Швидкість точки напрямлена по дотичній до кола і належить площині кола. , як радіус, проведений в точку дотику; за теоремою про три перпендикуляри. Оскільки вісь перпендикулярна площині кола (якій також належить ), то швидкість точки: .

Нам потрібно ввести вектор кутової швидкості таким чином, щоб він був інваріантним (тобто однаковим) для будь-якої точки обертового тіла. Також його модуль повинен відповідати формулі, що зв’язує модулі лінійної та кутової швидкостей, відомої з кінематики: .

Припустимо, що деякий вектор , який відповідає вищевказаним вимогам, пов'язаний з векторами і співвідношенням:

Визначимо напрям вектора по відомим векторам і , а також відомій осі обертання :

Вектор належить площині, що перпендикулярна вектору , в ній очевидно лежать і вектор . Також, відповідно до властивостей векторного добутку: , де – кут між і (обираємо кут так, щоб: , а також: слідкуючи з кінця вектору , найкоротший поворот від до повинен здійснюватися проти годинникової стрілки). Тобто: . З кінематики: . Тому: . З рисунку: і вектор разом з частиною осі утворюють прямокутний трикутник. Нехай на осі обрано напрямок , такий що слідкуючи з кінця вектора найкоротший поворот від цього напрямку до здійснюється проти годинникової стрілки (на рисунку – це напрямок угору). Нехай – це кут між обраним напрямком на осі та вектором (очевидно виконується умова: ). За означенням синусу: . Отримаємо: . Звідси: , або: . Враховуючи умови:

; , отримаємо два можливих співвідношення для кутів: і . З вимоги, яку буде наведено далі, нам потрібно, щоб вектор був однаковим для двох діаметрально протилежних точок кола, по якому вони обертаються, а цій вимозі задовольняє лише один з двох можливих напрямків вектору , які було щойно розглянуто, а саме: .

Це означає, що колінеарна осі обертання, і виходячи з означення векторного добутку векторів: напрямок співпадає з напрямком .

З вищеописаного маємо наступне:

Вектор кутової швидкості – однаковий для всіх точок обертового тіла.
– напрямлений вздовж осі обертання так, що слідкуючи з кінця вектора найкоротший поворот від до здійснюється проти годинникової стрілки
Виконується рівність для модулів векторів:
Виконується співвідношення для векторів:

В ектор моменту сили

З динаміки відомо, що модуль моменту сили дорівнює:

Домовимося, що відносно точки О момент сили, яка діє на тіло, буде визначатися за наступним правилом:

Вектор моменту імпульсу

– імпульс тіла.

Домовимося, що момент імпульсу тіла відносно точки О буде визначатися за наступним правилом:

Враховуючи, що векторний добуток – це визначник => по правилам розкриття визначника випливає, що m можливо винести за векторний добуток:

Таким чином ми ввели визначення векторів: , , . Ми ввели набір правил, з яких далі можна зробити деякі висновки, що пояснюють поводження гіроскопу.

Щодо фізичного змісту:

- міра зусилля, яка спрямована на обертання тіла (порівнюючи з поступальним рухом, - це аналог )

- вектор, який характеризує кількість обертального руху (порівнюючи з поступальним рухом, - це аналог )

Фізичний зміст ведених векторів буде більш зрозумілим, коли ми знайдемо зв’язок між цими величинами, встановимо закономірності, що випливають із цього зв’язку, а також проведемо аналогію з поступальним рухом.

Зв’язок між і

Нехай довільна точка тіла (яка має масу ) має імпульс (тобто рухається зі швидкістю .

Нехай у просторі задано систему координат з початком О, і до обраної точки проведено радіус-вектор . Тоді обрана точка відносно заданої системи координат має момент імпульсу:

; =>

Можна вибрати так систему координат, щоб – була спрямована уздовж осі =>

П рипустимо, що тіло, яке обертається, має осьову симетрію (симетрично відносно осі Z) для кожного знайдеться ( ), такий, що:

Звернемо увагу на те, що симетричні точки та повинні мати однакову кутову швидкість , а це означає, що вісь симетрії обертового тіла повинна збігатися з віссю його обертання.

Враховуючи, що: , маємо:

– сумарний момент імпульсу для двох симетричних точок та , які діаметрально протилежні, та рухаються по одному колу.

Т аке підсумовування можливо виконати з усіма точками тіла (для кожної є симетрична відносно осі Z) => Сумарний момент імпульсу дорівнює

Порівнюючи з поступальним рухом, рівняння = відповідає рівнянню .

Зв’язок між і

Нехай довільна точка тіла (яка має масу ) має імпульс (тобто рухається зі швидкістю ) та прискорення:

, а також момент сили, яка діє на цю точку:

візьмемо похідну від моменту імпульсу:

– похідна за часом від моменту імпульсу довільної точки тіла – це момент сили, яка діє на цю точку .

Знайдемо суму моментів усіх сил, що діють на всі точки обертового тіла.

Система координат з початком О, яку було задано, повинна бути інерціальною, тому оберемо її початок на осі гіроскопу в місці дотику з нерухомою опорою.

На кожну точку обертового тіла діє дві сили: сила тяжіння і доцентрова сила, що спрямована до центру кола, по якому обертається ця точка.

Будемо розглядати кожного разу дві діаметрально протилежні точки обертового тіла: та . Для них радіус-вектори мають відповідно вигляд: та , а доцентрові сили: і , оскільки кожна з них протилежно напрямлена паралельній площині ХОУ складовій відповідного радіус-вектора. Тут: – модуль доцентрової сили (він залежить від радіусу кола по якому обертається точка). Тому сума моментів цих сил:

, тому сумарний момент доцентрових сил, що діють на всі точки обертового тіла дорівнює нулю.

Тепер розглянемо суму моментів сил тяжіння двох діаметрально протилежних точок обертового тіла: та .

Я кщо гіроскоп має однакову густину в кожній своїй точці (гіроскоп однорідний), то на кожний елемент, маси в однорідному гравітаційному полі діє однакова сила .

Я кщо подивитися на другий рисунок (вид гіроскопу зверху): сила тяжіння спрямована вниз позначається: , як видно: сумарний момент сили тяжіння у тіла, яке має осьову симетрію при обертанні відносно осі OZ і при дії сили тяжіння вздовж осі OY – буде спрямований вздовж осі OX: ( )|| , це можна продемонструвати аналітично: нехай: . Якщо радіус-вектори і – проведені в точки та симетрично відносно осі обертання OZ ; ;

спрямований вздовж осі OZ, також – дорівнює відстані від гіроскопу до початку координат, тобто => – сума моментів сил тяжіння для всіх точок гіроскопу:

Мінус стоїть, так як проекція - протилежна (сила тяжіння спрямована вниз) ; M=mgl

Кутова швидкість прецесії

Як було виведено раніше: . Знайдемо суму по всіх точках гіроскопу:

Т а отримаємо: зміна моменту імпульсу спрямована туди, куди і момент сили

- новий напрямок моменту імпульсу гіроскопу, а оскільки – спрямований так саме, як , а , в свою чергу – спрямована вздовж осі обертання, то нова вісь обертання буде спрямована вздовж , тобто вісь повернеться на деякий кут в горизонтальній площині (тоді як сила спрямована вертикально вниз). . Якщо – малий (а він малий, так як – не нескінченно мала величина, а – нескінченно мала, так як , а беремо нескінченно малим), то:

, а в межі: при (так як при )

– це кутова швидкість з якою обертається момент імпульсу гіроскопу, тобто сама вісь обертання - це кутова швидкість прецесії гіроскопа