Логарифмическая линейка

ЛСЛО – 250 – 14П ГОСТ 5161-72

Линейка: основа, движок, бегунок

Основа: неподвижный фрагмент линейки со шкалами. Визиры на обратной стороне основы: штрихи соответствуют числам и на шкале .

Движок: фрагмент линейки со шкалами, смещаемый относительно основы

Бегунок: прозрачный фрагмент линейки с визирными штрихами. Длина отрезка между (шкала ) и (шкала ) – задает прямую пропорциональность между киловаттами и лошадиными силами ( ); длина отрезка между (шкала ) и (шкала ) - задает квадратичную зависимость между площадью круга и диаметром ( )

Порядок числа: если больше (или равно) единицы: «+» количество цифр до запятой; если меньше единицы: «–» количество нулей после запятой. (Инженерная нормализованная запись числа: , ( ), : – мантисса числа, – порядок числа)

Для определения (в любом отношении) порядка ответа, необходимо определить порядок фактических аргументов (см. ниже определение), выразить фактические аргументы через аргументы произвольного порядка и подставить в отношение, отделить мантиссы от порядка, определить в каком диапазоне находится выражение для мантисс, и разбить этот диапазон на интервалы одного порядка. Для каждого такого диапазона определяется порядок ответа.

Пример для произведения чисел: пусть мы можем определить произведение чисел фактического порядка: , где ; . Каждому из этих чисел соответствует число произвольного порядка: ; . Получаем: ,

. Произведение мантисс лежит в диапазоне: , который перекрывает два интервала фиксированного порядка: (недобор по мантиссам: произведение мантисс на порядок меньше мантиссы ответа) и (перебор по мантиссам: произведение мантисс равно мантиссе ответа). Мантисса ответа: , поэтому в первом случае: , и порядок ответа: , а во втором случае: , и порядок ответа:

ШКАЛЫ:

Каждая шкала содержит шкалы трех порядков, у шкалы каждого порядка своя цена деления (и длина штриха). Каждый порядок – это соответствующая цифра состава числа.

– фактические значения (т.е. запятая в числе именно там, где она фактически стоит), нанесенные на шкалу ( , где: , – определяется конкретным промежутком конкретной шкалы)

– значения с произвольным порядком числа (т.е. порядок можно выбрать произвольно), имеющие ту же мантиссу, что и ( )

( = )

– воображаемая ось, связанная с основой

- воображаемая ось, связанная с движком

, - направлены вправо. Их начала ( , ) совпадают, если движок не смещен относительно основы. Для каждой шкалы задана функция: или , которая определяет координату в мм ( , ) на оси y или y^/, соответствующую значению по шкале

мм (чаще всего на линейках)

Пусть движок смещен относительно основы некоторым образом. Тогда для любого положения бегунка, на шкалах и (каждая из которых может быть независимо друг от друга, как шкалой основы, так и шкалой движка), точки (либо: )и (либо: ), располагающиеся на его штрихе (совмещенные), связаны соотношением:

или: ,

если одна шкала находится на основе, а другая на движке, или:

( ) или: ,

если обе шкалы находятся на основе (или на движке)

Функции шкал (на линейку наносятся шкалы, имеющие следующие зависимости):

– шкала мантисс логарифмов где:

– шкала чисел где: (но при расчётах следует брать: )

Определенная длина отрезка на шкале отражает во сколько правое число больше левого. Пусть , тогда: , в каком бы месте на шкале ни находился отрезок. Числа, расстояние между которыми (длина шкалы), отличаются на порядок: . Таких шкал можно приложить сколько угодно слева и справа к существующей шкале.

– шкала чисел где:

– шкала квадратов чисел где:

– шкала кубов чисел где:

– шкала обратных значений где: ; – соответствует перевернутой шкале (если движок перевернуть вверх ногами, и вставить в линейку).

– шкала обратных квадратов где: – соответствует перевернутой шкале (если движок перевернуть вверх ногами, и вставить в линейку).

– шкала синусов где:

– шкала синусов и тангенсов малых углов где

– шкала тангенсов где:

– двойная логарифмическая шкала (экспонент)

где:

– обратная двойная логарифмическая шкала (если перевернуть шкалу )

где:

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ШКАЛАМИ:

– совмещенные фактические переменные (зависят от положения бегунка, либо фиксированные)

– совмещенные переменные произвольного порядка (зависят от положения бегунка, либо фиксированные)

– число, подставляемое в отношение в качестве аргумента

– означает совмещение значения по шкале со значением по шкале

– означает совмещение значения по шкале с фактическим значением аргумента ( )

– координата значения по шкале основы

– координата значения по шкале движка

- знак кратности (деления нацело)

Подшкала (п/ш) – это интервал шкалы, содержащий значения одинакового порядка (для квадратов: левая п/ш: , правая п/ш: ; для кубов: левая п/ш: , средняя п/ш: , правая п/ш: )

Отношения получаем из и соответствующих уравнений шкал

В таблице представлены отношения вида:

Основа – основа: , где – любая из остальных шкал основы
Движок – движок: , где – любая из остальных шкал движка
Основа – движок: , где – любая из остальных шкал движка

Если хотим получить отношение между двумя любыми шкалами вида: основа – основа или движок – движок: – исключаем шкалу (или ) из формул и (или и ). Если хотим получить отношение между двумя любыми шкалами вида: основа – движок: , в формуле исключаем шкалу формулой и шкалу формулой . Таким образом, одним отношением основа – движок, мы можем связать четыре различные шкалы двумя положениями бегунка.

Всего возможных отношений основа – основа: 21*2шт, движок – движок: 14*2шт, основа – движок: 42*2шт (доступных 35*2шт). Т.е. за одну установку движка можно определить значение 140 функций (не все из них уникальны).

описание	шкалы	отношение (фактическое)	отношение (произвольный порядок)	порядок ответа
основа – основа
десятичный логарифм
десятичная показательная функция
квадрат

корень квадратный

куб


корень кубический


арксинус				фактический
синус
аналог				фактический



арктангенс				фактический
тангенс
движок – движок
идентичен



обратная пропорция

обратный квадрат

обратный корень

экспонента				фактический
натуральный логарифм
				фактический

основа – движок
умножение

деление

			аналог	аналог
умножение (на обратной шкале)

деление (на обратной шкале)

			аналог	аналог
корень произвольной степени				фактический
логарифм по произвольному основанию
возведение числа в произвольную степень
			аналог	фактический
корень произвольной степени

Функциональные зависимости: для различных смещений движка, комбинируя различные шкалы аргумента и функции (ответа), можно получить широкий спектр функциональных зависимостей (см. таблицу в конце)

Прямая пропорциональность: совместив начало или конец шкалы с числом на шкале – задаем прямую пропорцию (по штриху бегунка) между шкалами (аргумент) и (ответ), связанную этим числом (см. умножение).

Обратная пропорциональность: совместив начало или конец шкалы с числом на шкале – задаем обратную пропорцию (по штриху бегунка) между шкалами (аргумент) и (ответ), связанную этим числом (см. деление на обратной шкале).

Квадратичная зависимость: аргументу по шкале соответствует его квадрат по шкале (см. возведение в квадрат). Более общую квадратичную зависимость можно получить, используя шкалы: (аргумент) и (значение функции (ответ))

Функция корень квадратный: аргументу по шкале соответствует его корень квадратный по шкале (см. извлечение квадратного корня). Более общую зависимость можно получить, используя шкалы: (аргумент) и (значение функции (ответ))

Обратная квадратичная зависимость: аргументу по шкале соответствует его обратный квадрат по шкале (см. в таблице шкалы ). Более общую зависимость можно получить, используя шкалы: (аргумент) и (значение функции (ответ))

Функция обратный корень квадратный: аргументу по шкале соответствует его обратный корень квадратный по шкале (аналог: см. в таблице шкалы ). Более общую зависимость можно получить, используя шкалы: (аргумент) и (значение функции (ответ))

Показательная функция: совместив начало или конец шкалы с числом на шкале – задаем показательную функцию (по штриху бегунка) с основанием , между шкалами (аргумент) и (значение функции (ответ)) (см. возведение произвольного числа в произвольную степень)

Функция корень степени : (задается на обратной двойной логарифмической шкале) совместив начало или конец шкалы с числом на шкале – задаем функцию корень степени (по штриху бегунка) с основанием корня (фиксированным подкоренным выражением), между шкалами (аргумент) и (значение функции (ответ)) (см. извлечение корня произвольной степени на обратной двойной логарифмической шкале)

Логарифмическая функция: совместив начало или конец шкалы с числом на шкале – задаем логарифмическую функцию (по штриху бегунка) с основанием , между шкалами (аргумент) и (значение функции (ответ)) (см. вычисление логарифма по произвольному основанию)

Сложение: сводится к умножению и делению по формуле:

Вычитание: сводится к умножению и делению по формуле:

Умножение: множитель по шкале совместить с началом или концом шкалы (в зависимости от того, попадает ли второй множитель на шкале внутрь шкалы ).

Ответ смотрим по шкале , совмещенный со вторым множителем на шкале .

Порядок ответа: при сдвижке вправо ; при сдвижке влево

теория:

Из :

;

При смещении движка вправо (если недобор по мантиссам):

; ;

Умножение: ; порядок ответа:

При смещении движка влево (если перебор по мантиссам):

; ;

Умножение: ; порядок ответа:

Умножение на обратной шкале: множитель по шкале совместить с множителем по шкале . Ответ смотрим по шкале на начале или конце шкалы (который попал внутрь шкалы ). Порядок ответа: при сдвижке влево ; при сдвижке вправо . После умножения на обратной шкале – удобно результат умножать на прямой (или делить на обратной) шкале на следующее число: для этого не нужно смещать движок.

Деление: делимое по шкале совместить с делителем по шкале . Ответ смотрим по шкале на начале или конце шкалы (который попал внутрь шкалы ). Порядок ответа: при сдвижке влево ; при сдвижке вправо . После деления – удобно результат умножать на прямой (или делить на обратной) шкале на следующее число: для этого не нужно смещать движок.

Деление на обратной шкале: делимое по шкале совместить с началом или концом шкалы (в зависимости от того, попадает ли делитель на шкале внутрь шкалы ). Ответ смотрим по шкале , совмещенный с делителем на шкале . Порядок ответа: при сдвижке влево ; при сдвижке вправо .

Возведение в квадрат: совместить штрих бегунка по шкале с числом. Ответ смотрим по шкале . Порядок ответа: при использовании правой подшкалы ; при использовании левой подшкалы

Извлечение квадратного корня: совместить штрих бегунка с числом: по правой подшкале , если его порядок чётный, или по левой подшкале , если его порядок нечётный. Ответ смотрим по шкале . Порядок ответа: , или

Возведение в куб: совместить штрих бегунка по шкале D с числом. Ответ смотрим по шкале . Порядок ответа: при использовании правой подшкалы ; при использовании средней подшкалы ; при использовании левой подшкалы

Извлечение кубического корня: совместить штрих бегунка с числом: по правой подшкале , если его порядок , или по средней подшкале , если , или по левой подшкале , если . Ответ смотрим по шкале . Порядок ответа: , или , или

Вычисление десятичного логарифма: совместить штрих бегунка с числом по шкале . По шкале смотрим мантиссу логарифма ( ; если по шкале получили 1, то ). По порядку числа определяем характеристику логарифма: . Ответ:

теория: , где – характеристика логарифма (целая часть логарифма – округление до ближайшего целого в меньшую сторону), – мантисса логарифма (дробная часть логарифма – разность между логарифмом и его целой частью).

;

, где – порядок числа

, где – мантисса числа ( )

Вычисление десятичного антилогарифма (числа, соответствующего данному логарифму), потенцирование: совместить штрих бегунка с числом по шкале , соответствующим разности логарифма и . Ответ смотрим по шкале . Порядок ответа : наименьшее целое, большее логарифма.

Возведение в любую степень: . Логарифмируя, получим: . Находим , умножаем на , находим антилогарифм.

Извлечение корня любой степени: . Логарифмируя, получим: . Находим , делим на , находим антилогарифм.

Тригонометрия:

– шкала углов синуса. Красным отмечены углы для косинуса . Ответ смотрим по шкале и умножаем его на (получим синус угла).

– шкала малых углов синуса и тангенса (там они имеют практически одинаковые значения). Ответ смотрим по шкале и умножаем его на (получим синус или тангенс угла).

– шкала углов тангенса. Красным отмечены углы для котангенса . Ответ смотрим по шкале и умножаем его на (получим тангенс угла).

Чтобы воспользоваться углами, выходящими за шкалу , нужно совместить по шкале с по шкале , и ответ смотреть по шкале , умножая на , что переводит его в значения шкалы .

Экспонента: на обратной стороне движка три шкалы , , (это двойные логарифмические шкалы), которые согласованы со шкалами на лицевой стороне движка. Ответ на штрихе визира (для функции шкалы) соответствует числу (аргументу) по шкале С, совмещенному с началом или концом шкалы D.

Извлечение корня произвольной степени за одну установку движка: в зависимости от подкоренного выражения (его можно выбрать в диапазоне: ), выбираем шкалу , в которую попало данное выражение (определили ). Совмещаем фактическое подкоренное выражение с предварительным значением степени корня . Таким образом определяем смещение шкал . Варьируя выбор шкалы – можно варьировать порядок степени корня (выбором ). При смещении движка влево, степень корня: . При смещении движка вправо, степень корня: . Ответ: , совмещенный с началом или концом шкалы .

Возведение произвольного числа в произвольную степень за одну установку движка: в зависимости от основания (его можно выбрать в диапазоне: ), выбираем шкалу , в которую попало данное значение основания (определили ). Выбором индекса шкалы – можно варьировать порядок показателя степени . Если, при несмещенном движке, середина отрезка с концами на: и ближе к левому краю шкалы, смещаем движок влево (совмещаем и ), показатель степени: . Если при несмещенном движке, середина отрезка с концами на: и ближе к правому краю шкалы, смещаем движок вправо (совмещаем и ), показатель степени: (при выбранном основании, показатель степени можно выбрать в диапазоне: , где – фактическое значение по шкале , совмещенное с краем шкалы смещенного движка: ). Середину любой шкалы легко найти по шкале . Ответ: (совмещенный с ).

Извлечение корня произвольной степени на обратной двойной логарифмической шкале за одну установку движка: аналогично алгоритму возведения произвольного числа в произвольную степень при замене: на и на , но: если смещаем движок влево, показатель степени: ; если смещаем движок вправо, показатель степени: (см. формулу в таблице).

Вычисление логарифма по произвольному основанию за одну установку движка: основание логарифма может быть в диапазоне: , аргумент логарифма может быть в диапазоне: . Выбираем соответствующие основанию и аргументу шка́лы, таким образом определив и . Если аргумент правее основания , совмещаем с фактическим значением основания , ответ: , совмещенный с фактическим значением аргумента . Если аргумент левее основания , совмещаем с фактическим значением основания , ответ: , совмещенный с фактическим значением аргумента

Перечень операций (функциональных зависимостей), которые можно выполнить (получить, задавая различные положения бегунка) не более чем за одно смещение движка (уникальные операции выделены серым цветом):

шкала

—

Левый столбец – шкала аргумента, верхняя строка – шкала функции (ответа).

В отношениях основа – основа или движок – движок совмещена пара значений (на штрихе бегунка), одно из них считаем аргументом, а второе ответом, поэтому получаем два выражения.

В отношениях основа-движок – совмещены две пары значений, т.е. три независимые переменные и один ответ, например: первую переменную выберем по шкале основы, совместим с ней вторую переменную по шкале движка, третью переменную выберем на основе по штриху бегунка, а ответ смотрим на шкале движка (в силу симметрии ответ может быть на месте любой переменной). Поэтому, из каждого отношения основа-движок, можно получить два выражения с тремя независимыми переменными (на самом деле четыре выражения, но поскольку в отношении симметричны правая и левая части, то два другие – будут идентичны первым двум). Причем: , – установленные смещением движка, зафиксированные значения, а - в данной таблице обозначает переменную, изменяющуюся по штриху бегунка (т.е. можно различными положениями бегунка набрать таблицу значений функции). и – совмещены, аргумент совмещен со значением функции (с ответом); – на шкале аргумента ; – на шкале функции.

В данной таблице, по каждой из осей и , фиксированное значение и значение по штриху бегунка выбирались на одной шкале, однако для всех четырех значений, шка́лы можно выбрать независимыми, что существенно расширяет представленную выше таблицу.